Công thức phép quay - tổng hợp kiến thức đầy đủ nhất

Công thức phép quay là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, Đây là một công thức khá phức tạp, đòi hỏi các bạn học sinh phải tìm hiểu và luyện tập nhiều. Nhằm giúp các bạn học sinh nắm chắc được kiến thức quan trọng này, trang web dự báo thời tiết Việt Nam sẽ giới thiệu đến các bạn những kiến thức đầy đủ nhất về lý thuyết, và bài tập minh họa về phép quay, các bạn hãy cùng tham khảo nhé

Lý thuyết về công thức phép quay

Định nghĩa phép quay

Cho 1 điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α  được gọi là phép quay tâm O góc α .

• Điểm O được gọi là tâm quay, α là góc quay của phép quay đó.
• Phép quay tâm O góc α biến điểm M thành M’ được kí hiệu là Q(O,α)

Tính chất của phép quay

• Phép quay sẽ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
• Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng và Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
• Biến một tam giác thành tam giác bằng nó và biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Công thức phép quay

• Phép quay tâm O, góc 90⁰: Q(o;90^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:
• Phép quay tâm O, góc -90⁰: Q(o;-90^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:
• Phép quay tâm O, góc 180⁰: Q(o;180^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:

Công thức tổng quát

Phép quay tâm O, góc quay α: Q(O,α) [ M(x;y)] = M’(x’;y’).

Phép quay tâm I(a;b), góc quay α: Q(I, ∞) [ M(x;y)] = M’(x’;y’).

Ví dụ minh họa về công thức phép quay

Ví dụ 1: Trong một mặt phẳng có tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5).

1) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A thông qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay –90⁰ .

2) Tìm tọa độ điểm C là ảnh của điểm A thông qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 45⁰ .

Hướng dẫn giải

1) Điểm B là ảnh của điểm A thông qua phép quay Q(O,-90^o)

Cách 1: Vẽ hình

Dựa vào hình vẽ, ta suy ra B(5;1).

Cách 2: Áp dụng theo công thức:

2) Điểm C là ảnh của điểm A thông qua phép quay Q(O,45^o)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng có tọa độ Oxy cho một đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0.

Hãy tìm đường thẳng d’ là ảnh của d thông qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –90⁰ (Sử dụng công thức phép quay) .

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Bởi vì Q(O,-90^o)(d) = d’ nên d' ⊥ d. Do vậy, phương trình d’ có dạng: 3x + 5y + c = 0.

Lấy điểm M(-3;0) ∈ d, gọi M’(x’;y’) ∈ d’ là ảnh của điểm M qua phép quay Q(O,-90^o)

Vì M'(0;-3) ∈ d' nên 3.0 + 5.3 + c = 0 ⇒ c = -15

Vậy d’ có phương trình là 3x + 5y – 15 = 0.              

Cách 2:

Với mọi điểm M(x;y) ∈ d, M’(x’;y’) ∈ d’ sao cho Q(O,-90^o)(M) = M’.

Bài tập công thức phép quay

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho M(1;-5). Hãy tìm ảnh của M thông qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰

1. N(5;1)                   B. N(5;-1)                  C. N(1;5)                   D. N(1;-5)

Câu 2. Trong một mặt phẳng có tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d thông qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰

1. d’: 5x – 2y + 6 = 0                                   B. d’: 5x – 2y – 3 = 0 
2. d’: 2x – 5y – 3 = 0                                   D. d’: 2x – 5y + 6 = 0 

Câu 3. Trong một mặt phẳng có tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 6x + 5 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰ là:

1. x2 + (y – 3)=22 = 4                                   B. x2 + y2 + 6x – 6 = 0
2. x2 + (y + 3)=22 = 4                                    D. x2 + y2 + 6x – 5 = 0

Đáp án 1A, 2B, 3C

Xem thêm: Công thức lực hấp dẫn và 5 bài tập kèm theo (có đáp án)

Qua bài viết này, chúng tôi hi vọng các bạn đã có thể hiểu rõ hơn về công thức phép quay, cũng như làm các bài tập ví dụ để nắm chắc được kiến thức thú vị này. Đừng bỏ lỡ những bài viết tiếp theo về giáo dục của chúng tôi nhé